Question

已知圓過點，，并且直線平分圓的面積．
（1）求圓的方程；
（2）若過點，且斜率為的直線與圓有兩個不同的公共點．
①求實數(shù)的取值范圍；  ②若，求的值．

Answer 1

（1）；（2）①：實數(shù)的取值范圍是，②：.

解析試題分析：（1）由題意直線平分圓的面積可知圓心在直線上，因此可將的坐標(biāo)設(shè)為，再由圓過點，可知，即可得到關(guān)于的方程：
，解得，即有圓心坐標(biāo)，半徑，從而可知圓的方程為；（2）①：根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，代入圓方程并化簡可得，從而直線與圓有兩個不同的交點，等價于方程有兩個不想等的實數(shù)根，從而，②：由題意可知若設(shè)設(shè)，，則，為方程的兩根，從而，，，因此可以由得到關(guān)于的方程：，即.
試題解析：（1）∵平分圓的面積，∴圓心在直線上，∴設(shè)，又∵圓過點，，
∴，即，∴，半徑，
∴圓的方程為；         4分；
①：設(shè)直線的方程為，代入并化簡可得：，
∵直線與圓有兩個不同的公共點，∴，
即實數(shù)的取值范圍是，        4分
②：設(shè)，，由①可知，，
∴，
∴，
∴.         4分
考點：1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓的位置關(guān)系；3.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.