Question

【題目】垃圾分類，是指按一定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱．分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值，力爭物盡其用．2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法．到2020年底，先行先試的46個重點城市，要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng)；其他地級城市實現(xiàn)公共機構(gòu)生活垃圾分類全覆蓋．某機構(gòu)欲組建一個有關(guān)“垃圾分類”相關(guān)事宜的項目組，對各個地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進行相關(guān)報道．該機構(gòu)從600名員工中進行篩選，篩選方法：每位員工測試，，三項工作，3項測試中至少2項測試“不合格”的員工，將被認定為“暫定”，有且只有一項測試“不合格”的員工將再測試，兩項，如果這兩項中有1項以上（含1項）測試“不合格”，將也被認定為“暫定”，每位員工測試，，三項工作相互獨立，每一項測試“不合格”的概率均為．

（1）記某位員工被認定為“暫定”的概率為，求；

（2）每位員工不需要重新測試的費用為90元，需要重新測試的總費用為150元，除測試費用外，其他費用總計為1萬元，若該機構(gòu)的預(yù)算為8萬元，且該600名員工全部參與測試，問上述方案是否會超過預(yù)算?請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不會超過預(yù)算.

【解析】

（1）利用互斥事件的概率加法計算公式和n次獨立重復(fù)實驗的概率計算公式進行求解即可；

（2）設(shè)每位員工測試的費用為元，則可能的取值為，利用n次獨立重復(fù)實驗的概率計算公式和離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望公式求出數(shù)學(xué)期望的表達式，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.

（1）由題意知，每位員工首輪測試被認定為“暫定”的概率為，

每位員工再次測試被認定為“暫定”的概率為，

綜上可知，每位員工被認定為“暫定”的概率為

+

，

（2）設(shè)每位員工測試的費用為元，則可能的取值為，

由題意知，，，

所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望為

（元），，

令，則

，

所以當時，；當時，；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，即(元)，

所以此方案的最高費用為（萬元），

綜上可知，若以此方案實施不會超過預(yù)算.