Question

已知函數(shù)f（x）=2sin(2x-

π

6

)，x∈R．
（1）求使函數(shù)f（x）取得最大值﹑最小值的自變量x的集合，并分別寫出最大值﹑最小值是什么；
（2）函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的平移可使其對應的函數(shù)成為偶函數(shù)？請寫出一種正確的平移方法，并說明理由；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函數(shù)的最值，求出函數(shù)的最大值、最小值及取得最大值、最小值的對應自變量x取值集合；
（2）根據(jù)左加右減法則和誘導公式，對解析式進行變形即可；
（3）由x得范圍求出2x-

π

6

范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值、最小值，即求出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

+kπ（k∈z）時，
此時sin(2x-

π

6

)=1，f（x）取得最大值是2，
使f（x）取得最大值的自變量x的集合是{x|x=

π

3

+kπ，k∈z}，
當2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

+kπ（k∈z）時，
此時sin(2x-

π

6

)=-1，f（x）取得最小值是-2，
使f（x）取得最小值的自變量x的集合是{x|x=-

π

6

+kπ，k∈z}，
（2）把函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位長度，可使其對應的函數(shù)g（x）成為偶函數(shù)； 
因為g(x)=f(x+

π

3

)=2sin(2(x+

π

3

)-

π

6

)=2sin(2x+

π

2

)=2cos2x，所以g（x）為偶函數(shù)．
（或：函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位長度）
（3）因為-

π

12

≤x≤

π

2

，即-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，

當2x-

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

12

時，f(x)min=2sin(-

π

3

)=-

3

；

當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f(x)max=2sin(

π

2

)=2；

所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域是[-

3

，2]．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)圖象的變換，關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查整體思考和計算能力．