Question

（2010•九江二模）已知曲線f(x)=

1

3

x3+

4

3

，(x∈R)，則過(guò)點(diǎn)P（2，f（2））的切線方程為（　　）

A．4x-y-4=0

B．x-y+2=0

C．8x-y-12=0或x-y+2=0

D．4x-y-4=0或x-y+2=0

Answer 1

分析：設(shè)出曲線過(guò)點(diǎn)P切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式表示出切線方程，將點(diǎn)P（2，4）代入可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出過(guò)點(diǎn)P（2，f（2））的切線方程．

解答：解：f（2）=4
設(shè)曲線 y=

1

3

x3+

4

3

與過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)A（x₀，

1

3

x03+

4

3

），
則切線的斜率 k=y′|x=x0=x02，
∴切線方程為y-（

1

3

x03+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即 y=

x

2 0

•x-

2

3

x

3 0

+

4

3

∵點(diǎn)P（2，4）在切線上，
∴4=2x₀²-

2

3

x03+

4

3

，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，解決此類問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”；同時(shí)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．