Question

已知二次函數(shù)y=ax²+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求證：此函數(shù)的圖象與x軸交于相異的兩個點．
（2）設(shè)函數(shù)圖象截x軸所得線段的長為l，求證：

3

＜l＜2

3

．

Answer 1

分析：（1）欲證明二次函數(shù)與x軸有兩個交點，只須函數(shù)相應(yīng)方程的判別式大于0即可，本題中函數(shù)解析式未知，故應(yīng)合理利用條件
a＞b＞c且a+b+c=0，對其變形后代入判別式進(jìn)行變換即可判斷判別式的符號，證明本題．
（2）利用求根公式求出函數(shù)相應(yīng)方程的兩個根，得到線段長l的表達(dá)式，變形得l=|x₁-x₂|=

4( c a + 1 2 )2+3

，由次形式推斷出線段長度范圍的關(guān)鍵是確定

c

a

的范圍，由此問題研究的方向找到，以下依據(jù)a＞b＞c且a+b+c=0恒等變形求

c

a

的范圍即可．

解答：證明：（1）由a+b+c=0得b=-（a+c）．
△=（2b）²-4ac=4（a+c）²-4ac
=4（a²+ac+c²）=4[（a+

c

2

）²+

3

4

c²]＞0．
故此函數(shù)圖象與x軸交于相異的兩點．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴

c

a

＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴

c

a

＜-

1

2

．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
l=|x₁-x₂|=

4( c a + 1 2 )2+3

．
由二次函數(shù)的性質(zhì)知l∈（

3

，2

3

）．

點評：本題的考點是二次函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合利用二次函數(shù)相關(guān)知識證明問題的能力，本題在解題中技巧性很強(qiáng)，如（1）中消去參數(shù)b利于確定判別式的范圍，（2）中靈活運用a＞b＞c且a+b+c=0來確定

c

a

的范圍，此類技巧的運用需要平時經(jīng)驗的積累，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，題后應(yīng)對這些變形的技巧的變形過程及變形后達(dá)到目標(biāo)進(jìn)行細(xì)致的分析，力爭能把握此類技巧的使用．