Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C為30°．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正切值；
（Ⅲ）在平面AA₁B₁B內(nèi)找一點(diǎn)P，使三棱錐P-BB₁C為正三棱錐，并求P到平面BB₁C距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知，本題可由面面垂直的性質(zhì)定理證明線(xiàn)面垂直，由面BB₁C₁C⊥面ABC，因?yàn)槊鍮B₁C₁C∩面BB₁C₁C=BC，AC⊥BC，易得所證明結(jié)論；
（II）求AB₁與平面BB₁C₁C所成角的正切值可取BB₁中點(diǎn)E，連接CE，AE，證明∠CEA即為二面角A-B₁B-C的平面角，再解三角形求出線(xiàn)面角的正切值即可；
（III）由（I）結(jié)合題設(shè)條件三棱錐P-BB₁C為正三棱錐可得出點(diǎn)P必在過(guò)三角形BB₁C的重心且與直線(xiàn)AC平行的直線(xiàn)上，找出此線(xiàn)與面AA₁B₁B的交點(diǎn)，此點(diǎn)即為P，求出P到平面BB₁C距離即可．

解答：解：（I）面BB₁C₁C⊥面ABC，因?yàn)槊鍭BC∩面BB₁C₁C=BC，AC⊥BC，所以AC⊥面BB₁C₁C．
（II）取BB₁中點(diǎn)E，連接CE，AE，在△CBB₁中，BB₁=CB=2，∠CBB₁=60°
∴△CBB₁是正三角形，∴CE⊥BB₁，
又AC⊥面BB₁C₁C且BB₁?面BB₁C₁C，
∴BB₁⊥AE，即∠CEA即為二面角A-B₁B-C的平面角為30°，
∵AC⊥面BB₁C₁C，∴AC⊥CE，
在Rt△ECA中，∵CE=

3

，
∴AC=CE•tan30°=1，
又AC⊥面BB₁C₁C，∴∠CB₁A即AB₁與面BB₁C₁C所成的線(xiàn)面角，
在Rt△B₁CA中，tan∠CB₁A=

AC

CB1

=

1

2

（III）在CE上取點(diǎn)P₁，使

CP1

P1E

=

2

1

，則因?yàn)镃E是△B₁BC的中線(xiàn)，
∴P₁是△B₁BC的重心，
在△ECA中，過(guò)P₁作P₁P∥CA交AE于P，?AC⊥面BB₁C₁C，P₁P∥CA
∴P₁P⊥面CBB₁，即P點(diǎn)在平面CBB₁上的射影是△BCB₁的中心，該點(diǎn)即為所求，且

PP1

AC

=

1

3

，
∴PP₁₌

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線(xiàn)面角的求法及點(diǎn)到面距離的求法，考查了數(shù)形結(jié)合及推理判斷的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直的性質(zhì)及線(xiàn)面角的平面角的做法，本題是立體幾何中的有一定難度的題，是高考中的常考題型．