Question

【題目】設(shè)F是橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上的點(diǎn)，圓x2＋y2＝與線段PF交于A，B兩點(diǎn)，若A，B三等分線段PF，則橢圓C的離心率為（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

取線段PF的中點(diǎn)H，連接OH，OA，由題意可得OH⊥AB，設(shè)|OH|＝d，根據(jù)橢圓的定義以及在Rt△OHA中，可得a＝5d，在Rt△OHF中，利用勾股定理即可求解.

如圖，取線段PF的中點(diǎn)H，連接OH，OA.

設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為E，連接PE.

∵A，B三等分線段PF，∴H也是線段AB的中點(diǎn)，即OH⊥AB.

設(shè)|OH|＝d，則|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.

在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.

在Rt△OHF中，|FH|＝，|OH|＝，|OF|＝c.

由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，

化簡(jiǎn)得17a2＝25c2，.

即橢圓C的離心率為.

故選：D.