【題目】已知點(diǎn)P和非零實(shí)數(shù),若兩條不同的直線
均過點(diǎn)P,且斜率之積為
,則稱直線
是一組“
共軛線對”,如直
是一組“
共軛線對”,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)已知是一組“
共軛線對”,求
的夾角的最小值;
(2)已知點(diǎn)A(0,1)、點(diǎn)和點(diǎn)C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點(diǎn)(A,B,C與P,Q,R均不重合),且直線PR,PQ是“
共軛線對”,直線QP,QR是“
共軛線對”,直線RP,RQ是“
共軛線對”,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn) ,直線
是“
共軛線對”,當(dāng)
的斜率變化時,求原點(diǎn)O到直線
的距離之積的取值范圍.
【答案】(1)最小值為;(2)P(3,3)或
;(3)
.
【解析】
(1)設(shè)l1的斜率為k,則l2的斜率為,兩直線的夾角為α,利用夾角公式及基本不等式求最值,即可得到l1,l2的夾角的最小值;
(2)設(shè)直線PR,PQ,QR的斜率分別為k1,k2,k3,可得,求解可得k1,k2,k3的值,進(jìn)一步得到直線PR與直線PQ的方程,聯(lián)立得P的坐標(biāo);
(3)設(shè)l1:,
,其中k≠0,利用兩點(diǎn)間的距離公式可得原點(diǎn)O到直線l1,l2的距離,變形后利用基本不等式求解.
(1)設(shè)的斜率為k,則
的斜率為
,兩直線的夾角為a,
則 ,
等號成立的條件是,所以最小值為
;
(2)設(shè)直線的斜率分別為
,
則 得
或
.
當(dāng)時,直線
的方程為y=
,直線
的方程為y=
,聯(lián)立得,P(3,3);
當(dāng)時,,直線
的方程為y=
,直線
的方程為y=-
,聯(lián)立得,
;
故所求為P(3,3)或;
(3)設(shè),
,其中k
,
故=
由于(等號成立的條件是
),故
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中x>0,k為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)k≤0時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,3)上存在兩個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:對任意給定的實(shí)數(shù)k,存在(
),使得
在區(qū)間(
,
)上單調(diào)遞增.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,馬路南邊有一小池塘,池塘岸
長40米,池塘的最遠(yuǎn)端
到
的距離為400米,且池塘的邊界為拋物線型,現(xiàn)要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環(huán)池塘小路
,且
均與小池塘岸線相切,記
.
(1)求小路的總長,用表示;
(2)若在小路與小池塘之間(圖中陰影區(qū)域)鋪上草坪,求所需鋪草坪面積最小時,的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是______.
①若直線與直線
互相垂直,則
②若,
兩點(diǎn)到直線
的距離分別是
,
,則滿足條件的直線
共有3條
③過,
兩點(diǎn)的所有直線方程可表示為
④經(jīng)過點(diǎn)且在
軸和
軸上截距都相等的直線方程為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,a3=﹣3.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}的前k項和Sk=﹣35,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)、
,動點(diǎn)
滿足
,記
的軌跡為曲線
,直線
(
)交曲線
于
、
兩點(diǎn),點(diǎn)
在第一象限,
軸,垂足為
,連結(jié)
并延長交曲線
于點(diǎn)
.
(1)求曲線的方程,并說明曲線
是什么曲線;
(2)若,求△
的面積;
(3)證明:△為直角三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力和煤、電耗如下表:
產(chǎn)品品種 | 勞動力 | 煤 | 電 |
A產(chǎn)品 | 3 | 9 | 4 |
B產(chǎn)品 | 10 | 4 | 5 |
已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元,現(xiàn)在條件有限,該企業(yè)僅有勞動力300個,煤360噸,并且供電局只能供電200千瓦,試問:該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少噸,才能獲得最大利潤?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)存在與直線
平行的切線,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)設(shè),若
有極大值點(diǎn)
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y = f(x)是定義域?yàn)?/span>R的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,函數(shù)f(x)的圖象是由一段拋物線和一條射線組成(如圖所示).
①當(dāng)時,y的取值范圍是______;
②如果對任意 (b <0),都有
,那么b的最大值是______.
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