Question

已知二項(xiàng)式，其中n∈N，n≥3．
（1）若在展開式中，第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，求n；
（2）設(shè)n≤2012，在其展開式，若存在連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，問這樣的n共有多少個(gè)？

Answer 1

解：（1）∵為常數(shù)項(xiàng)，
∴=0，即n=18； …..（3分）
（2）連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、、（1≤k≤n-1），
由題意，
依組合數(shù)的定義展開并整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
故，…..（6分）
則因?yàn)閚為整數(shù)，并且8k+9是奇數(shù)，所以令8k+9=（2m+1）²?2k=m²+m-2，
代入整理得，，∵44²=1936，45²=2025，
故n的取值為44²-2，43²-2，…，3²-2，共42個(gè)． …..（10分）
分析：（1）利用二項(xiàng)式的展開式求出第4項(xiàng)，通過x的指數(shù)為0，求出a的值．
（2）連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、、（1≤k≤n-1），由題意，化簡求解，利用n為自然數(shù)求出所有的n的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的展開式的應(yīng)用，方程的思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．