Question

已知二項(xiàng)式(

5	x

-

1

x

)n，其中n∈N，n≥3．
（1）若在展開(kāi)式中，第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，求n；
（2）設(shè)n≤2012，在其展開(kāi)式，若存在連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，問(wèn)這樣的n共有多少個(gè)？

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式求出第4項(xiàng)，通過(guò)x的指數(shù)為0，求出a的值．
（2）連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

（1≤k≤n-1），由題意2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，化簡(jiǎn)求解，利用n為自然數(shù)求出所有的n的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）∵T4=

C

3 n

(

5	x

)n-3(-

1

x

)3=

C

3 n

(-1)3x

n-18

5

為常數(shù)項(xiàng)，
∴

n-18

5

=0，即n=18；                                    …..（3分）
（2）連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

（1≤k≤n-1），
由題意2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，
依組合數(shù)的定義展開(kāi)并整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
故n1，2=

4k+1± 8k+9

2

，…..（6分）
則因?yàn)閚為整數(shù)，并且8k+9是奇數(shù)，所以令8k+9=（2m+1）²⇒2k=m²+m-2，
代入整理得n1=(m+1)2-2，n2=m2-2，∵44²=1936，45²=2025，
故n的取值為44²-2，43²-2，…，3²-2，共42個(gè)．      …..（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的應(yīng)用，方程的思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．