Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前6項(xiàng)依次構(gòu)成等比數(shù)列，且從第5項(xiàng)起依次構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．

①求滿足的的最小值；

②是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

（2）設(shè)數(shù)列的前6項(xiàng)均為正整數(shù)，公比為，且，求的最小值．

Answer 1

（1）①設(shè)數(shù)列的前6項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，從第5項(xiàng)起等差數(shù)列的公差為d．

由，，則；

又，解得或（舍，因?yàn)?sub>為整數(shù)），

所以，．故．……2分

所以…………4分

∵  ∴  由得

所以，滿足的的最小值為18．……………………………6分

②假設(shè)存在正整數(shù)，使得成立，

即     由或得

所以，存在正整數(shù)，使得成立．…………………10分

（Ⅱ）設(shè)，由，…，都是正整數(shù)，則必為有理數(shù)．

設(shè)，其中s，r都是正整數(shù)，且，，則．

由，得，所以是的整數(shù)倍．

因此，．……………14分

當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)，取到最小值243．……16分