Question

已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，表示該數(shù)列前項的和，且對任意正整數(shù)，恒有，設(shè)

（1）      求數(shù)列的通項公式；

（2）      證明：無窮數(shù)列為遞增數(shù)列；

（3）是否存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)恒成立，若存在，求出的最小值。

Answer 1

解析：（1）時，，，，解得

時，，，，作差得

，整理得，∵，∴，∴，對時恒成立，因此數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故；

（2）∵－=－

==，

對任意正整數(shù)恒成立∴無窮數(shù)列為遞增數(shù)列。

（3）存在，且的最小值為7。

∵∴若存在正整數(shù)，必有。

又===

===

當(dāng)時∵＜

∴

即

∴2=2+=<=

∴;

因此存在正整數(shù)使得對任意正整數(shù)恒成立，且的最小值為7。