Question

（2006•西城區(qū)二模）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)D到平面ACD₁的距離為

3

3

，若點(diǎn)P為△BCD的重心，則D₁P與平面ADD₁A₁所成角的大小為

arctan

10

5

．

Answer 1

分析：由正方體的棱長(zhǎng)求出ACD₁的邊長(zhǎng)，利用等積法求點(diǎn)D到平面ACD₁的距離；找出△BCD的重心P，作出D₁P與平面ADD₁A₁所成角，利用三角形中心的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的一些邊長(zhǎng)，最后通過(guò)解直角三角形求D₁P與平面ADD₁A₁所成角的大小．

解答：解：如圖，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，且棱長(zhǎng)為1，
∴AC=CD1=AD1=

2

，
則S△ACD1=

1

2

×

2

×

6

2

=

3

2

．
設(shè)點(diǎn)D到平面ACD₁的距離為h，
則

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

×

3

2

h，
解得h=

3

3

∵P為為△BCD的重心，∴PC=

1

3

AC，AP=

2

3

AC．
過(guò)P作PQ∥CD交AD于Q，則AQ⊥m面ADD₁，D₁Q，
則∠PD₁Q為D₁P與平面ADD₁A₁所成角．
PQ=

2

3

CD=

2

3

，QD=

1

3

，QD1=

12+( 1 3 )2

=

10

3

．
∴tan∠PD1Q=

PQ

D1Q

=

2 3

10 3

=

10

5

．
∴D₁P與平面ADD₁A₁所成角的大小為arctan

10

5

．
故答案為

3

3

，arctan

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面所成的角，考查了空間中的點(diǎn)、線、面間的距離，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題．