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        1.  [2012·天津卷] 如圖1-4,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,ADPDBC=1,PC=2PDCD=2.

          (1)求異面直線PABC所成角的正切值;

          (2)證明平面PDC⊥平面ABCD;

          (3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.

          圖1-4

          解:(1)如圖所示,在四棱錐PABCD中,因?yàn)榈酌?i>ABCD是矩形,所以ADBCADBC,又因?yàn)?i>AD⊥PD,故∠PAD為異面直線PABC所成的角.

          在Rt△PDA中,tan∠PAD=2.

          所以,異面直線PABC所成角的正切值為2.

           (2)證明:由于底面ABCD是矩形,故ADCD,又由于ADPD,CDPDD,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.

          (3)在平面PDC內(nèi),過(guò)點(diǎn)PPECD交直線CD于點(diǎn)E,連接EB.

          由于平面PDC⊥平面ABCD,而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角.

          在△PDC中,由于PDCD=2,PC=2,可得∠PCD=30°.

          在Rt△PEC中,PEPCsin30°=.

          ADBCAD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BCPC.

          在Rt△PCB中,PB.

          在Rt△PEB中,sin∠PBE.

          所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.

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