Question

若當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，不等式x²+x＜log_ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

3 4

4

≤a＜1

．

Answer 1

分析：先構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x），將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上恒有h（x）＜0，又函數(shù)為增函數(shù)，故可求．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜

1

2

）
易知，在區(qū)間（0，

1

2

）上，函數(shù)f（x），g（x）均是遞增函數(shù)，∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上是遞增函數(shù)．
由題設(shè)可知，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上恒有h（x）＜0．∴必有h（

1

2

）≤0．
即有（

1

4

）+（

1

2

）-log_a（

1

2

）≤0．
整理就是（

3

4

）≤

ln 1 2

lna

，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是 

3 4

4

≤a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題是恒成立問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助于最值求出參數(shù)的范圍．