Question

已知f(x)=3cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a(ω＞0)，且函數(shù)f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

（1）求ω的值，
（2）若當(dāng)x∈[

π

6

，

5π

12

]時(shí)，f（x）的最小值為2，求a的值，
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期求出ω的值，
（2）通過x∈[

π

6

，

5π

12

]，求出相位的范圍，利用f（x）的最小值為2，即可求a的值，
（3）通過函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的遞減區(qū)間．

解答：解：（1）f(x)=3cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a
=

1

2

（3+3cos2ωx）+

3

2

sin2ωx+a
=

3

sin（2ωx+

π

3

）+a+

3

2

，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

，
所以函數(shù)的周期為：π．
所以ω=

2π

2π

=1，ω的值為1．
（2）因?yàn)?span id="vivfj9h" class="MathJye">x∈[

π

6

，

5π

12

]，所以2x+

π

3

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∵f（x）的最小值為2，
∴-

3

2

+a+

3

2

=2，∴a=

1

2

+

3

2

．
（3）由（1）可知函數(shù)f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）+a+

3

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，
所以在區(qū)間[0，

π

2

]上的遞減區(qū)間為：[

π

12

，

π

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力．