Question

已知函數(shù)f（x）=x-lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）如果函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，證明：當1＜x＜2時，f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）如果x₁，x₂∈（0，2），x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數(shù)f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可；
（Ⅱ）由對稱關系求出g（x），構造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），用導數(shù)證明當1＜x＜2時，F(xiàn)（x）＜0即可；
（Ⅲ）分（x₁-1）（x₂-1）=0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，（x₁-1）（x₂-1）＜0三種情況討論，借助（Ⅰ）（Ⅱ）問結論可證明．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
則f′（x）＜0時，0＜x＜1，當f′（x）＞0時，x＞1，
所以f（x）的減區(qū)間是（0，1），增區(qū)間是（1，+∞）．
（Ⅱ）由題意知，g（x）=f（2-x）=2-x-ln（2-x），
令F（x）=f（x）-g（x）═2x-2-lnx+ln（2-x），
F′（x）=2-

1

x

-

1

2-x

=

2x2-4x+2

x(x-2)

=

2(x-1)2

x(x-2)

．
當1＜x＜2時，F(xiàn)′（x）＜0，即F（x）是減函數(shù)．
F（x）＜F（1）=0，
所以f（x）＜g（x）．
（Ⅲ）證明：（1）若（x₁-1）（x₂-1）=0，
由（Ⅰ）及f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂=1，與x₁≠x₂矛盾．
（2）若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由（Ⅰ）及f（x₁）=f（x₂），得x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾．
根據(jù)（1）（2）得（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨設x₁1．
當1＜x₂＜2時，由（Ⅱ）可知f（x₂）＜g（x₂），而g（x₂）=f（2-x₂），
所以f（x₂）＜f（2-x₂），從而f（x₁）＜f（2-x₂），因為x₂＞1，所以2-x₂＜1，
又由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內為減函數(shù)，所以x₁＞2-x₂，即x₁+x₂＞2．

點評：本題考查應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、證明不等式問題，考查分析問題解決問題的能力，綜合性較強．