Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小船沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇．
（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大�。�，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖設(shè)小艇的速度為v，時(shí)間為t相遇，則由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC，即：vt²=400+900t²-1200tcos60⁰=900t²-600t+400=900(t-

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)2+300再由二次函數(shù)法求解最值．
（2）根據(jù)題意，要用時(shí)最小，則首先速度最高，即為：30海里/小時(shí)，然后是距離最短，則由（1）可得：
OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60⁰解得：t=

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，再解得相應(yīng)角．

解答：解：（1）如圖設(shè)小艇的速度為v，時(shí)間為t相遇，
則由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC
即：vt²=400+900t²-1200tcos60⁰=900t²-600t+400=900(t-

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)2+300
當(dāng)t=

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時(shí)，取得最小值，此時(shí)，v=30

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（2）要用時(shí)最小，則首先速度最高，即為：30海里/小時(shí)，則由（1）可得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60⁰解得：t=

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，此時(shí)∠BOD=30°
此時(shí)，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，主要涉及了余弦定理，二次函數(shù)法求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想．