Question

【題目】已知?jiǎng)又本�與與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)

（1）若動(dòng)直線垂直于軸.求直線的方程；

（2）證明：和均為定值；

（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，，，使得三角形面積若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不存在，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意設(shè)直線，表示出點(diǎn)，后，利用即可求得m，即可得解；

（2）分直線斜率是否存在分類(lèi)討論；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組可得，，由弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式可得，化簡(jiǎn)后可得，即可得解；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題目要求，由（2）可得，，進(jìn)而可得點(diǎn)、、只能從四個(gè)點(diǎn)中選取三個(gè)不同的點(diǎn)，由這三點(diǎn)的連線中必有一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與題設(shè)矛盾，即可得解.

（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，設(shè)直線，

則點(diǎn)，，

所以，解得，所以，

故所求直線方程為；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由（1）知，，；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，

則，消去得，

所以，，，

所以

，

點(diǎn)到直線的距離，

所以，

整理可得，滿足，

所以，

；

綜上，為定值1，,為定值2；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題目要求，

由（2）得，，，，，

，

解得，，

所以、、只能從中選取，、、只能從中選取，

故點(diǎn)、、只能從四個(gè)點(diǎn)中選取三個(gè)不同的點(diǎn)，

而這三點(diǎn)的連線中必有一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與矛盾，

所以橢圓上不存在點(diǎn)、、，使得三角形面積.