Question

設(shè)橢圓方程為x2+=1,過點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P滿足=(+),當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時,動點(diǎn)P的軌跡方程為　　　　　.

 

Answer 1

4x2+y2-y=0

【解析】【思路點(diǎn)撥】設(shè)直線l的斜率為k,用參數(shù)法求解,但需驗(yàn)證斜率不存在時是否符合要求.

直線l過點(diǎn)M(0,1),當(dāng)斜率存在時,設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

由題設(shè)可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2)是方程組的解,

將①代入②并化簡得(4+k2)x2+2kx-3=0,

所以

于是=(+)=(,)

=(,).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0,�、�

當(dāng)斜率不存在時,A,B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),也滿足方程③,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.

【方法技巧】利用參數(shù)法求軌跡方程的技巧

參數(shù)法是求軌跡方程的一種重要方法,其關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膮��?shù).一般來說,選參數(shù)時要注意:

①動點(diǎn)的變化是隨著參數(shù)的變化而變化的,即參數(shù)要能真正反映動點(diǎn)的變化特征;②參數(shù)要與題設(shè)的已知量有著密切的聯(lián)系;③參數(shù)要便于軌跡條件中的各種相關(guān)量的計算,也要便于消去.常見的參數(shù)有角度、斜率、點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等.