Question

【題目】設(shè)為正整數(shù)，若兩個(gè)項(xiàng)數(shù)都不小于的數(shù)列，滿足：存在正數(shù)，當(dāng)且時(shí)，都有，則稱數(shù)列，是“接近的”.已知無(wú)窮等比數(shù)列滿足，無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，.

（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；

（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列，是“接近的”；

（3）給定正整數(shù)，數(shù)列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此時(shí)的（均用表示）.（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）的最小值，此時(shí)

【解析】

（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，由，可求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)；
（2）只需證明成立，即可得證；
（3）由題設(shè)可求得，根據(jù)定義進(jìn)而得到對(duì)都成立，再構(gòu)造函數(shù)求解即可．

（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，由得，解得，故.

（2）.

對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)，且時(shí)，有，

則，即成立，

故對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列，是“接近的”.

（3）由，得到，且，

從而，于是.

當(dāng)時(shí)，，，解得，

當(dāng)時(shí)，，又，

整理得，所以，因此數(shù)列為等差數(shù)列.

又因?yàn)?/span>，，則數(shù)列的公差為1，故.

根據(jù)條件，對(duì)于給定正整數(shù)，當(dāng)且時(shí)，都有

成立，

即①對(duì)都成立.

考察函數(shù)，，令，

則，當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù).

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即，

所以在上是增函數(shù).

注意到，，，，

故當(dāng)時(shí)，的最大值為，

的最小值為.

欲使?jié)M足①的實(shí)數(shù)存在，必有，即，

因此的最小值，此時(shí).