Question

過(guò)點(diǎn)A（-1，10）且被圓x²+y²-4x-2y-20=0截得的弦長(zhǎng)為8的直線(xiàn)方程是

 

．

Answer 1

分析：由于所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，10），故可設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，然后根據(jù)弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，滿(mǎn)足勾股定理，求出k值，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程，但點(diǎn)斜式不能表示與Y軸平行的直線(xiàn)，故還要討論直線(xiàn)斜率不存在的情況．

解答：解：圓x²+y²-4x-2y-20=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-1）²=25
當(dāng)所求直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線(xiàn)方程為y-10=k（x+1），即kx-y+k+10=0
∴圓心（2，1）到直線(xiàn)的距離d=

|2k-1+k+10|

k2+1

=

|3k+9|

k2+1

又∵弦長(zhǎng)為8，圓半徑r=5，∴弦心距d=3，
∴

|3k+9|

k2+1

=3，
∴k=-

4

3

∴此時(shí)直線(xiàn)方程為4x+3y-26=0
當(dāng)所求直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，方程為x+1=0，此時(shí)圓心（2，1）到直線(xiàn)的距離為3，弦長(zhǎng)為8
綜上所述，所求直線(xiàn)的方程為4x+3y-26=0或x=-1．
故答案為：4x+3y-26=0或x=-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用，直線(xiàn)的一般式方程，其中在求直線(xiàn)方程時(shí)，要討論一個(gè)直線(xiàn)斜率不存在的情況，這是本題的易忽略點(diǎn)．