Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，1），且它的離心率與雙曲線

x2

3

-y²=1的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A且斜率為k的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上，且滿足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得其離心率，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)可求得橢圓的離心率．再根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得b和a，橢圓的方程可得．
（2）先設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n），直線和橢圓相交，聯(lián)立方程可得含有k的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理可知x₁+x₂和x₁•x₂，再根據(jù)

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，用點(diǎn)A，B表示點(diǎn)M，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得k．

解答：解：（1）∵雙曲線-y²=1的離心率為

2 3

3

，
∴橢圓的離心率為

3

2

．
又∵b=1，∴a=2．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y²=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，x₁•x₂=0．
∵

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，
∴m=

1

2

（x₁+

3

x₂），n=

1

2

（y₁+

3

y₂），
∵點(diǎn)M在橢圓上，∴m²+4n²=4，
∴

1

4

（x₁+

3

x₂）²+（y₁+

3

y₂）²
=

1

4

[（x₁²+4y₁²）+3（x₂²+4y₂²）+2

3

x₁x₂+8y₁y₂]
=[4+12+8y₁y₂]=4．
∴y₁y₂=0，
∴（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=k•（-

8k

1+4k2

）+1=0，
即k²=

1

4

，∴k=±

1

2

．
此時(shí)△=（8k）²-4（1+4k²）×0=64k²=16＞0
∴k的值為±

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題．當(dāng)研究橢圓和直線的關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常可利用聯(lián)立方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理來(lái)解決．