Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=2sin(x+

π

12

)sin(

5π

12

-x)，x∈R，下列命題：
①f（x）可以化簡(jiǎn)為f(x)=sin(2x+

π

6

)；
②函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-

π

12

對(duì)稱；
③函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（

5π

12

，0）對(duì)稱；
④函數(shù)圖象可看作是把y=sin2x的圖象向左平移個(gè)

π

6

單位而得到；
⑤函數(shù)圖象可看作是把y=sin（x+

π

6

）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變）而得到； 其中所有正確的命題的序號(hào)是

①③⑤

．
（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答：解：①f（x）=2sin（x+

π

12

）cos（x+

π

12

）=sin（2x+

π

6

），即f（x）可以化簡(jiǎn)為f(x)=sin(2x+

π

6

)，故①正確；
②由①知x=-

π

12

時(shí)，f（x）=0，故②不正確；
③x=

5π

12

時(shí)，f（x）=0，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（

5π

12

，0）對(duì)稱，故③正確；
④f（x）=sin[2（x+

π

12

）]，所以函數(shù)圖象可看作是把y=sin2x的圖象向左平移個(gè)

π

12

單位而得到，故④不正確；
⑤函數(shù)圖象可看作是把y=sin（x+

π

6

）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變）而得到，故⑤正確，
綜上，正確的命題的序號(hào)是①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式，考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確利用三角函數(shù)圖象的性質(zhì)是關(guān)鍵．