Question

設(shè)數(shù)列{x_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

=2n2+2n
（1）求通項(xiàng)x_n
（2）已知

1

x1+x2

+

1

x2+x 3

+

1

x3+x4

+…+

1

xn+xn+1

=3，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等式滿足

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

=2n2+2n，將n換為n-1后兩式相減，即可求解；
（2）由（1）求得通項(xiàng)x_n，代入

1

xn+xn+1

根據(jù)分子有理化，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行證明；

解答：解：（1）數(shù)列{x_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

=2n2+2n①
∴

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n-1

=2(n-1)2+2(n-1)②
①-②得，x_n²=2n²+2n-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，∵數(shù)列{x_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴x_n=2

n

；
（2）∵x_n=2

n

；
∴

1

xn+xn+1

=

1

2 n +2 n+1

=

1

2

（

n+1

-

n

），

1

x1+x2

+

1

x2+x 3

+

1

x3+x4

+…+

1

xn+xn+1

=

1

2

（

2

-1+

3

-

2

+••+

n+1

-

n

）=

1

2

×（

n+1

-1）=3，
解得n=48；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)列的求和問題，注意利用好分子有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)，此題是一道中檔題，考查的知識(shí)點(diǎn)比教單一；