Question

【題目】給出下列四個命題

①已知為橢圓上任意一點，，是橢圓的兩個焦點，則的周長是8；

②已知是雙曲線上任意一點，是雙曲線的右焦點，則；

③已知直線過拋物線的焦點，且與交于，，，兩點，則；

④橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點，是它的焦點，長軸長為，焦距為，若靜放在點的小球（小球的半徑忽略不計）從點沿直線出發(fā)則經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點時，小球經(jīng)過的路程恰好是．

其中正確命題的序號為__（請將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①求得橢圓中的， ，的周長為：，即可判斷；

②求得雙曲線中的，，，討論在雙曲線的左支或右支上，求得最小值，即可判斷；

③設(shè)出直線的方程，代入拋物線方程，運用韋達(dá)定理，即可判斷；

④可假設(shè)長軸在，短軸在軸，對球的運動方向沿軸向左直線運動，沿軸向右直線運動，以及球不沿軸運動，討論即可.

①由橢圓方程，得，，因為橢圓上任意一點，由橢圓定義知，的周長為，故①錯誤；

②已知是雙曲線上任意一點，且，，是雙曲線的右焦點，若在雙曲線左支上，則，若在雙曲線右支上，則，故②正確；

③直線過拋物線的焦點，設(shè)其方程為，，，將直線代入拋物線的方程可得，由韋達(dá)定理可得，又，則，故③正確；

④假設(shè)長軸在，短軸在軸，設(shè)為左焦點，為左焦點，以下分為三種情況：

i．球從 沿軸向左直線運動，碰到左頂點必然原路反彈，這時第一次回到路程

是；

ii．球從沿軸向右直線運動，碰到右頂點必然原路反彈，這時第一次回到路程

是；

iii．球從不沿軸斜向上（或向下）運動，碰到橢圓上的點，反彈后經(jīng)過橢圓的另一個焦點，再彈到橢圓上一點，經(jīng)反彈后經(jīng)過點，此時小球經(jīng)過的路程是；

綜上所述：從點沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到時，小球經(jīng)過的路程是或或.故④錯誤.

故答案為：②③.