Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-mx(mR)。(1)若m>0,討論f(x)的單調(diào)性；（2）令g(x)=f(x-1)+(2m+1)x+n,若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),,求證： <

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可．（2）由兩式相減后整理可得．故要證不等式成立，只需證．不妨設(shè)， ，則只需證，然后再構(gòu)造函數(shù)，證明即可．

試題解析：

（1）∵，

∴，

∵，

∴．

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減．

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2）由題意得，

∵函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

∴

兩式相減得

∴，

要證，即證，

不妨設(shè)， ，

則只需證．

令，

則

令，

則，所以在上單調(diào)遞減，

∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

即在上恒成立，故原不等式成立．