Question

【題目】某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過 300 分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．設(shè)該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘.

（Ⅰ）用列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;

（Ⅱ）該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?

Answer 1

【答案】(1)詳見解析(2) 該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告使公司的收益最大，最大收益是70萬元.

【解析】試題分析：（I）根據(jù)廣告費用和收益列出約束條件，作出可行域；

（II）列出目標(biāo)函數(shù)z=3000x+2000y，根據(jù)可行域判斷最優(yōu)解的位置，列方程組解出最優(yōu)解得出最大收益．

試題解析：（I）設(shè)該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，則， 滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為

該二次元不等式組等價于

做出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域

（II）設(shè)公司的收益為元，則目標(biāo)函數(shù)為：

考慮，將它變形為.

這是斜率為，隨變化的一族平行直線，當(dāng)截距最大，即最大.

又因為滿足約束條件，所以由圖可知，

當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點時，截距最大，即最大.

解方程組得,

代入目標(biāo)函數(shù)得.

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告使公司的收益最大，最大收益是70萬元.