Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，點£在線段AB上．過點E作EF∥BC交AC于點F，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置（點A與P重合），使得∠PEB=60°．
（I ）求證：EF丄PB；
（II ）試問：當點E在線段AB上移動時，二面角P-FC-B的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知在Rt△ABC中，中EF∥BC，我們可得到EF⊥AB，即EF⊥EB，EF⊥EP，由線面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PEB，再由線面垂直的定義，即可得到EF丄PB；
（II ）在平面PEB中，過P點作PD⊥BE于D，結(jié)合（I）的結(jié)論可得BH⊥平面BCFE，以B為坐標原點，BC，BE，BH方向分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，則我們可以分別求出平面PFC與平面BFC的法向量，代入二面角的向量夾角公式中，求出其余弦值，判斷后，即可得到答案．

解答：解：（I）證明：在Rt△ABC中，∵EF∥BC
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E
∴EF⊥平面PEB
又∵PB?平面PEB
∴EF⊥PB
（II）在平面PEB中，過P點作PD⊥BE于D，
由（I）知，EF⊥PD
∴PD⊥平面BCFE
在平面PEB中過點B作直線BH∥PD
則BH⊥平面BCFE
如圖，以B為坐標原點，BC，BE，BH方向分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，
設(shè)PE=x（0＜x＜4），又∵AB=BC=4
∴BE=4-x，EF=x
在Rt△PED中，∠PED=60°
∴PD=

3

2

x，DE=

1

2

x
∴BD=4-x-

1

2

x=4-

3

2

x
∴C（4，0，0），F(xiàn)（x，4-x，0），P（0，4-

3

2

x，

3

2

x）
從而

CF

=（x-4，4-x，0），

CP

=（-4，4-

3

2

x，

3

2

x）
設(shè)

n

=（a，b，c）是平面PCF的一個法向量，則：

a(x-4)+b(4-x)=0 -4a+(4- 3 2 x)b+ 3 2 x=0

即

a-b=0 3 b-c=0

令b=1，則

n

=（1，1，

3

）是平面PCF的一個法向量，
又∵平面BCF的一個法向量為

v

=（0，0，1）
設(shè)二面角P-FC-B的平面角為θ，則
Cosθ=

n • v

| n |•| v |

=

15

5

∴當點E在線段AB上移動時，二面角P-FC-B的平面角的余弦值為定值

15

5

點評：本題主要考查直線與直線，直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想像能力、推理論證能力、運算求解能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想等．