Question

設f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=1，證明：x∈[1，2]時，f(x)-3＜

1

x

成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）要證x∈[1，2]時，f(x)-3＜

1

x

成立，由于x＞0，則只需證明ln（x+1）+x-

1

x

-3＜0在[1，2]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=ln（x+1）+x-

1

x

-3，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），f′(x)=

1

x+1

+a
當a＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＜0時，由f′（x）＞0得-1＜x＜-

1

a

；由f′（x）＜0得x＞-

1

a

∴函數(shù)f（x）在（-1，-

1

a

）上是增函數(shù)，在(-

1

a

，+∞)上是減函數(shù)；
（Ⅱ）a=1時，f（x）=ln（x+1）+x
要證x∈[1，2]時，f(x)-3＜

1

x

成立，
即證明ln（x+1）+x-

1

x

-3＜0在[1，2]上恒成立，
令g（x）=ln（x+1）+x-

1

x

-3，易得函數(shù)g（x）在x∈[1，2]時單調(diào)遞增
∵g（1）=0，
則g（x）≥0
∴x∈[1，2]時，f(x)-3＜

1

x

成立．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查不等式的證明，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．