Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；

【解析】

（1）由離心率和的面積構(gòu)建方程組，求出，代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得答案；

（2）設(shè)點(diǎn)，由其在橢圓上得，考慮PA，PB的斜率存在與否，利用分類討論是否為0，由直線的兩點(diǎn)式分別表示PA，PB的直線方程，進(jìn)而表示，化簡(jiǎn)得答案.

（1）由題可知離心率,,

解之得，所以橢圓的方程為；

（2）證明：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，即

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，所以直線PA的方程為

令得，所以

因?yàn)橐驗(yàn)?/span>，，所以直線PA的方程為

令得，所以

則

所以

因?yàn)?/span>，所以原式

當(dāng)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，且不與點(diǎn)B重合，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為

則此時(shí)，

則，所以

綜上所述：為定值.