已知函數(shù)(
是常數(shù))在
處的切線方程為
,且
.
(Ⅰ)求常數(shù)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)(
)在區(qū)間
內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)證明:.
(Ⅰ),
,
;(Ⅱ)實數(shù)
的取值范圍是
;(Ⅲ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)求常數(shù)的值,由函數(shù)
(
是常數(shù))在
處的切線方程為
,只需對
求導,讓它的導數(shù)在
處的值即為切線的斜率,這樣能得到
的一個關系式,由
,代入函數(shù)中,又得到
的一個關系式,因為三個參數(shù),需再找一個關系式,,注意到
在切線上,可代入切線方程得到
的一個關系式,三式聯(lián)立方程組即可,解此類題,關鍵是找
的關系式,有幾個參數(shù),需找?guī)讉關系式;(Ⅱ)若函數(shù)
(
)在區(qū)間
內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),即它的導函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)不恒正或恒負,即
在區(qū)間
內(nèi)有極值點,而
,只要
在區(qū)間
內(nèi)有解,從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題,分兩種情況:在區(qū)間
內(nèi)有一解,在區(qū)間
內(nèi)有兩解,結(jié)合二次函數(shù)圖像,從而求出實數(shù)
的取值范圍;(Ⅲ)證明:
,注意到
,只需證明
在
上
即可,即
,而
,只需證明
在
上
即可,而
,即
,只需證
在
上為減函數(shù),這很容易證出,此題構思巧妙,考查知識點多,學科知識點融合在一起,的確是一個好題,起到把關題作用.
試題解析:(Ⅰ)由題設知,的定義域為
,
, 因為
在
處的切線方程為
,所以
,且
,即
,且
, 又
,解得
,
,
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 因此,
,
所以,令
. (。┊敽瘮(shù)
在
內(nèi)有一個極值時,
在
內(nèi)有且僅有一個根,即
在
內(nèi)有且僅有一個根,又因為
,當
,即
時,
在
內(nèi)有且僅有一個根
,當
時,應有
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)>0)
(1)若的一個極值點,求
的值;
(2)上是增函數(shù),求a的取值范圍
(3)若對任意的總存在
>
成立,求實數(shù)m的取值范圍
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已知函數(shù).
(1)當時,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在
單調(diào)遞減,求實數(shù)
的取值范圍.
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已知R,函數(shù)
e
.
(1)若函數(shù)沒有零點,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)若函數(shù)存在極大值,并記為
,求
的表達式;
(3)當時,求證:
.
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已知函數(shù) (
為實常數(shù))
(1)當時,求函數(shù)
在
上的最大值及相應的
值;
(2)當時,討論方程
根的個數(shù)
(3)若,且對任意的
,都有
,求實數(shù)a的取值范圍
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(m為常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),函數(shù)
的最小值為1,其中
是函數(shù)f(x)的導數(shù).
(1)求m的值.
(2)判斷直線y=e是否為曲線f(x)的切線,若是,試求出切點坐標和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分共12分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2
(Ⅰ)求a,b,c,d的值
(Ⅱ)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知,
(Ⅰ)當時,求曲線
在點
處的切線方程;
(Ⅱ)若在
處有極值,求
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)是否存在實數(shù),使
在區(qū)間
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
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