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        1. 已知函數(shù)f(x),g(x),在R上有定義,對(duì)任意的x,y∈R有f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)且f(1)=0
          (1)求證:f(x)為奇函數(shù)
          (2)若f(1)=f(2),求g(1)+g(-1)的值.
          分析:(1)對(duì)x∈R,令x=u-v,代入f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)化簡(jiǎn)變形,可得f(-x)=-f(x),從而得到結(jié)論;
          (2)根據(jù)f(2)=f[1-(-1)]=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)[g(-1)+g(1)],然后根據(jù)f(1)=f(2)即可求出g(1)+g(-1)的值.
          解答:解(1)對(duì)x∈R,令x=u-v則有
          f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)
          =f(u-v)=-[f(u)g(v)-g(u)f(v)]=-f(x);
          ∴f(x)為奇函數(shù)
          (2)f(2)=f[1-(-1)]
          =f(1)g(-1)-g(1)f(-1)
          =f(1)g(-1)+g(1)f(1)
          =f(1)[g(-1)+g(1)]
          ∵f(2)=f(1)≠0,
          ∴g(-1)+g(1)=1.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)求值,解題的關(guān)鍵是如何利用定義,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          9、已知函數(shù)f(x),g(x)分別由如表給出:

          則滿足f[g(x)]<g[f(x)]的x的值
          1和3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x),g(x)分別由右表給出,則 f[g(2)]的值為(  )
          x 1 2 3
          f(x) 4 1 2
          x 1 2 3
          g(x) 3 2 1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)=x2+2x.
          (Ⅰ) 求函數(shù)g(x)的解析式;
          (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
          (Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出
          x 1 2 3
          f(x) 1 3 2
          x 1 2 3
          g(x) 3 2 1
          則f[g(1)]的值為
          2
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)和g(x)都是定義在R上的奇函數(shù),設(shè)F(x)=a2f(x)+bg(x)+2,若F(2)=4,則F(-2)=
          0
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          同步練習(xí)冊(cè)答案