Question

（2013•嘉定區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

．
（1）求方程f（x）=0的解集；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對(duì)的角為x，求角x的取值范圍及此時(shí)函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用兩種方法解：法1：令f（x）=0得到一個(gè)方程，將方程左邊提取cos

x

2

化為積的形式，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別求出x的范圍，即可得到方程的解集；法2：將函數(shù)f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，令f（x）=0，整理后利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出x的范圍，即為方程的解集．
（2）利用余弦定理表示出cosB，將已知的等式b²=ac代入，利用基本不等式變形得到cosB的范圍，由B為三角形的內(nèi)角，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時(shí)B的范圍，即為x的范圍，將函數(shù)f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域與值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）法1：由f（x）=0，
得sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

=cos

x

2

（sin

x

2

+

3

cos

x

2

）=0，
由cos

x

2

=0，得

x

2

=kπ+

π

2

，
∴x=2kπ+π（k∈Z）；
由sin

x

2

+

3

cos

x

2

=0，得tan

x

2

=-

3

，
∴

x

2

=kπ-

π

3

，即x=2kπ-

2π

3

（k∈Z），
則方程f（x）=0的解集為{x|2kπ+π或2kπ-

2π

3

（k∈Z）}；
法2：f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
由f（x）=0，得sin（x+

π

3

）=-

3

2

，
可得x+

π

3

=kπ-（-1）^k

π

3

（k∈Z），即x=kπ-（-1）^k

π

3

-

π

3

（k∈Z），
則方程f（x）=0的解集為{x|x=kπ-（-1）^k

π

3

-

π

3

（k∈Z）}；
（2）∵b²=ac，且a²+c²≥2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)），
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

1

2

，
又B為三角形的內(nèi)角，
∴0＜B≤

π

3

，
由題意得x=B，即x∈（0，

π

3

]，
f（x）=

1

2

sinx+

3

2

（cosx+1）
=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin（x+

π

3

）+

3

2

，
∵x+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，
則此時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

3

，

3

2

+1]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．