Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，，B、D在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在邊上，BD=3DC，△ABC的周長(zhǎng)為12．若一雙曲線以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)．

⑴ 求雙曲線的方程；
⑵ 若一過(guò)點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

(1)  (2)在軸上存在定點(diǎn)，使．

試題分析：(1) 設(shè)雙曲線的方程為，則．
由，得，即．
∴      3分
解之得，∴．
∴雙曲線的方程為． 5分
(2) 設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使．
設(shè)直線的方程為，．
由，得．
即         ①  6分
∵，，
∴．
即． ②  8分
把①代入②，得  ③  9分
把代入并整理得
其中且，即且．
．   10分
代入③，得，化簡(jiǎn)得 ．當(dāng)時(shí)，上式恒成立．
因此，在軸上存在定點(diǎn)，使．  13分
點(diǎn)評(píng)：難題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（1）求雙曲線方程時(shí)，應(yīng)用了雙曲線的定義及其幾何性質(zhì)，難度不大，較為典型。（2）則在應(yīng)用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上，通過(guò)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，達(dá)到證明目的。