Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增; 在區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí)， 函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)單調(diào)遞增;

（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，得到，令，則，分和分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),得,令,利用和函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

令，則．

①當(dāng)時(shí)， , ，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)， , 的兩個(gè)根為 ，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)， ,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增;當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減．

綜上: 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增; 在區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí)， 函數(shù)單調(diào)遞減, 函數(shù)單調(diào)遞增.

（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí), ,,

且 即,

令

,令,函數(shù)單調(diào)遞增;

令,函數(shù)單調(diào)遞減;

,