Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（

5

，0），以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線

3

x-y+4=0相切，A，B分別是橢圓短軸的兩個端點，P為橢圓C上的動點，且不與A，B重合．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P均不與A，B重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k_AP，k_BP，試問k_AP•k_BP的值是否為定值，若是，求出這個定值，若不是請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a²-b²=5，b=

| 3 ×0-0+4|

( 3 )2+1

=2，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由已知條件知A、B點坐標(biāo)分別是（0，2），（0，-2），設(shè)P點坐標(biāo)為（x₀，y₀），則

4-y02

x02

=

4

9

，由此能求出k_PA•k_PB為定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（

5

，0），
∴c=

5

，a²-b²=5，
又∵以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線

3

x-y+4=0相切，
∴原點到直線

3

x-y+4=0的距離為b=

| 3 ×0-0+4|

( 3 )2+1

=2，
∴a²=9，
∴所求橢圓方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）∵A，B分別是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1短軸的兩個端點，
∴A、B點坐標(biāo)分別是（0，2），（0，-2），
設(shè)P點坐標(biāo)為（x₀，y₀），則

x02

9

+

y02

4

=1，∴

4-y02

x02

=

4

9

，
∴k_PA•k_PB=

y0-2

x0

•

y0+2

x0

=-

4-y02

x02

=-

4

9

．
∴k_PA•k_PB為定值-

4

9

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量值是否為定值的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．