Question

已知為半圓的直徑，，為半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作半圓的切線，過點(diǎn)作于，交圓于點(diǎn)，．

（Ⅰ）求證：平分；
（Ⅱ）求的長．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以圓為幾何背景考查線線平行、線線垂直的證明，證明角之間的相等關(guān)系以及四點(diǎn)共圓的證明及性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與化歸能力和推理論證能力.第一問，利用圓中的半徑長都相等得出和相等，而為圓的切線，所以，所以會得出，所以，最終得出與相等，所以得出平分；第二問，利用第一問的結(jié)論，得出，而共圓，可得到與相等，所以在與中，分別求出與，求出的長.
試題解析：（Ⅰ）連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1d/a/htnd6.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7d/1/5zq301.png" style="vertical-align:middle;" />為半圓的切線，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/27/7/187tj3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以∥，
所以，，所以平分．4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，6分
連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/46/5/6l3y9.png" style="vertical-align:middle;" />四點(diǎn)共圓，，所以，8分
所以，所以．10分
考點(diǎn)：1.內(nèi)錯角相等；2.四點(diǎn)共圓；3.直角三角形中的計(jì)算.