Question

【題目】已知圓M：（x）2+y2＝r2（r＞0）．若橢圓C：1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若存在直線(xiàn)l：y＝kx，使得直線(xiàn)l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線(xiàn)段AB上，且|AG|＝|BH|，求圓M半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由題判斷可知，，再結(jié)合離心率和橢圓的關(guān)系式即可求解；

（2）需要將題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要求其實(shí)也就是求，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，求出弦長(zhǎng)，再由圓心到直線(xiàn)距離公式求出弦心距，結(jié)合幾何關(guān)系表示出，令可表示出，由不等式的性質(zhì)和函數(shù)關(guān)系即可求解的取值范圍；

（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，

由橢圓右頂點(diǎn)為圓M的圓心（，0），得a，

又，所以c＝1，b＝1．

所以橢圓C的方程為：．

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由直線(xiàn)l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，則，

所以（1+2k2）x2﹣2＝0，則x1+x2＝0，，

所以，

點(diǎn)M（，0）到直線(xiàn)l的距離d，

則|GH|＝2，

顯然，若點(diǎn)H也在線(xiàn)段AB上，則由對(duì)稱(chēng)性可知，若直線(xiàn)y＝kx是y軸，矛盾，

所以要使|AG|＝|BH|，只要|AB|＝|GH|，

所以4，

2，

當(dāng)k＝0時(shí)，r，

當(dāng)k≠0時(shí)，2（1）＝3，

又顯然2，所以，

綜上，．