Question

已知函數(shù)f(x)=x²+2x+alnx(a∈R)，
(1)當a=-4時，求f(x)的最小值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)當t≥1時，不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f(x)=x²+2x-41nx(x＞0)，f′(x)=2x+2-，
當x＞1時，f′(x)＞0，當0＜x＜1時，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，
∴f(x)_min=f(1)=3．
(2)，
若f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，則2x²+2x+a≥0在x∈(0，1)上恒成立
在x∈(0，1)上恒成立，
令u=-2x²-2x，x∈(0，1)，則，，
∴a≥0；
若f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，則2x²+2x+a≤0在x∈(0，1)上恒成立；
綜上，a的取值范圍是(-∞，-4]∪[0，+∞)．
(3)(2t-1)²+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t²+4t+2alnt-3恒成立，
a[ln(2t-1)-21nt]≥-2t²+4t-2a[ln(2t-1)-lnt²]≥2[(2t-1)-t²]，
當t=1時，不等式顯然成立；
當t＞1時，t²-(2t-1)=t²-2t+1=(t-1)²＞0t²＞2t-1lnt²＞ln(2t-1)
在t＞1時恒成立，
令，即求u的最小值，
設(shè)A(t²，lnt²)，B(2t-1，ln(2t-1))，，
且A、B兩點在y=lnx的圖象上，
又∵t²＞1，2t-1＞1，
故0＜k_AB＜，
∴，故a≤2，
即實數(shù)a的取值范圍為(-∞，2]。