Question

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，a=1， b=

3

， cosC=-

3

3

（1）求△ABC的面積；
（2）求sin（B-A）的值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出sinC，再利用三角形面積公式加以計(jì)算，可得△ABC的面積；
（2）先利用余弦定理，求出c邊的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦定理分別算出sinA=

1

3

、sinB=

3

3

，進(jìn)而算出cosA、cosB之值，最后利用兩角差的正弦公式加以計(jì)算，即可得到sin（B-A）的值．

解答：解：（1）∵△ABC中，cosC=-

3

3

＜0，
∴C為鈍角，sinC=

1-cos2C

=

6

3

．
又∵a=1， b=

3

，
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×1×

3

×

6

3

=

2

2

．
（2）∵a=1， b=

3

， cosC=-

3

3

，
∴由余弦定理，得c=

a2+b2-2abcosC

=

1+3-2×1× 3 ×(- 3 3 )

=

6

．
根據(jù)正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

6

6 3

=3，
∴sinA=

1

3

a=

1

3

，sinB=

1

3

b=

3

3

∵A、B是銳角，∴cosA=

1-sin2A

=

2 2

3

，cosB=

1-sin2B

=

6

3

．
由此可得sin（B-A）=sinBcosA-cosBsinA=

3

3

×

2 2

3

-

1

3

×

6

3

=

6

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用以及運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換的能力和利用三角形面積公式求面積，考查公式的熟練運(yùn)用和計(jì)算能力，屬于中檔題．