【題目】對于函數(shù)
，若在定義域存在實(shí)數(shù)
，滿足
，則稱
為“局部奇函數(shù)”.
（1）已知二次函數(shù)
，試判斷
是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由；
（2）設(shè)
是定義在
上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析；(2) 
【解析】試題分析：（1）本題實(shí)質(zhì)就是解方程
，如果這個方程有實(shí)數(shù)解，就說明
是“局部奇函數(shù)”，如果這個方程無實(shí)數(shù)解，就說明
不是“局部奇函數(shù)”，易知
有實(shí)數(shù)解，因此答案是肯定的；（2）已經(jīng)明確
是“局部奇函數(shù)”，也就是說方程
一定有實(shí)數(shù)解，問題也就變成方程
在
上有解，求參數(shù)
的取值范圍，又方程可變形為
，因此求
的取值范圍，就相當(dāng)于求函數(shù)
的值域，用換元法（設(shè)
），再借助于函數(shù)
的單調(diào)性就可求出.
試題解析：(1) 
為“局部奇函數(shù)”等價于關(guān)于
的方程
有解．
即
（3分）
有解
為“局部奇函數(shù)”．（5分）
(2)當(dāng)
時, 
可轉(zhuǎn)化為
（8分）
因為
的定義域為
,所以方程
在
上有解,令
,（9分）
則
因為
在
上遞減,在
上遞增, 
（11分）
（12分）
即
（14分）
階梯計算系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2018年為我國改革開放40周年，某事業(yè)單位共有職工600人，其年齡與人數(shù)分布表如下：
年齡段 |
|
|
|
|
人數(shù)（單位：人） | 180 | 180 | 160 | 80 |
約定：此單位45歲
59歲為中年人，其余為青年人，現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾.
（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？
（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事，其余人熱衷關(guān)心民生大事.完成下列2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)？
熱衷關(guān)心民生大事 | 不熱衷關(guān)心民生大事 | 總計 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
總計 | 30 |
（3）若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長歌舞，3人擅長樂器）中，隨機(jī)抽取2人上臺表演節(jié)目，則抽出的2 人能勝任的2人能勝任才藝表演的概率是多少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風(fēng)冷卻塔是一種大型薄殼型構(gòu)筑物。建在水源不十分充足的地區(qū)的電廠，為了節(jié)約用水，需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng)，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用，大型電廠采用的冷卻構(gòu)筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內(nèi)陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米. 雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構(gòu)筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風(fēng)力影響；它比機(jī)力通風(fēng)冷卻塔維護(hù)簡便，節(jié)約電能；但體形高大，施工復(fù)雜，造價較高.（以上知識來自百度，下面題設(shè)條件只是為了適合高中知識水平，其中不符合實(shí)際處請忽略.）
（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100
，俯視圖為三個同心圓，其半徑分別40，
，30，試根據(jù)上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（為長度單位米）；
（2）試?yán)谜n本中推導(dǎo)球體積的方法，利用圓柱和一個倒放的圓錐，計算封閉曲線：
，
，繞
軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積多少？（用
表示）.（用積分計算不得分）現(xiàn)已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結(jié)構(gòu)，為計算方便設(shè)其內(nèi)壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點(diǎn)處），試計算該冷卻塔內(nèi)殼所在的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是？并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內(nèi)外殼之間）大約是多少
；（計算時
取3.14159，保留到個位即可）
（3）冷卻塔體型巨大，造價相應(yīng)高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費(fèi)用（建筑人工和輔助機(jī)械）的計算，鋼筋土石等建筑材料費(fèi)用和和其它設(shè)備等施工費(fèi)用不在本題計算范圍內(nèi).超高建筑的施工（含人工輔助機(jī)械等）費(fèi)用隨著高度的增加而增加，現(xiàn)已知：距離地面高度30米（含30米）內(nèi)的建筑，每立方米的施工費(fèi)用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費(fèi)用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費(fèi)用增加100元.試計算建造本題中冷卻塔的施工費(fèi)用（精確到萬元）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面是直角梯形， 
， 
，
，點(diǎn)
在線段
上，且
， 
， 
平面
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）當(dāng)四棱錐
的體積最大時，求四棱錐
的表面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
實(shí)數(shù)
使得函數(shù)
在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
實(shí)數(shù)使得函數(shù)
在
上存在兩個零點(diǎn)
，且
分別求出條件
中的實(shí)數(shù)的取值范圍；
甲同學(xué)認(rèn)為“
是
的充分條件”，乙同學(xué)認(rèn)為“是的必要條件”，請判斷兩位同學(xué)的說法是否正確，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在長方體
中，
，點(diǎn)
為
的中點(diǎn)．
（1）求證：直線
平面
；
（2）求證：平面
平面
；
（3）求直線
與平面的夾角．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，分別過橢圓
左、右焦點(diǎn)
的動直線
相交于
點(diǎn)，與橢圓
分別交于
與
不同四點(diǎn)，直線
的斜率
滿足
．已知當(dāng)
與
軸重合時，
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)
，使得
為定值？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值；若不存在，說明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
和
.
【解析】試題分析：（1）當(dāng)
與
軸重合時，
垂直于軸，得
,得
,
從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點(diǎn)，則
點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把
坐標(biāo)化，可得
點(diǎn)的軌跡是橢圓，從而求得定點(diǎn)
和點(diǎn)
.
試題解析：
當(dāng)與軸重合時，
, 即
,所以
垂直于軸，得
，
，, 得
,
橢圓
的方程為
.
焦點(diǎn)
坐標(biāo)分別為
, 當(dāng)直線
或斜率不存在時，點(diǎn)坐標(biāo)為
或
;
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率分別為
, 設(shè)
由
, 得：
, 所以:
，
, 則：
. 同理：
, 因為
, 所以
, 即
, 由題意知
, 所以
， 設(shè)
，則
，即
，由當(dāng)直線或斜率不存在時，點(diǎn)坐標(biāo)為或也滿足此方程，所以點(diǎn)在橢圓
上.存在點(diǎn)和點(diǎn)，使得
為定值，定值為
.
考點(diǎn)：圓錐曲線的定義，性質(zhì)，方程.
【方法點(diǎn)晴】本題是對圓錐曲線的綜合應(yīng)用進(jìn)行考查，第一問通過兩個特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關(guān)鍵是從這個角度出發(fā)，把
坐標(biāo)化，求得點(diǎn)的軌跡方程是橢圓
，從而求得存在兩定點(diǎn)和點(diǎn).
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)
的兩個零點(diǎn)為
，記
，證明：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校為了解學(xué)生一次考試后數(shù)學(xué)、物理兩個科目的成績情況，從中隨機(jī)抽取了25位考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析．25位考生的數(shù)學(xué)成績已經(jīng)統(tǒng)計在莖葉圖中，物理成績?nèi)缦拢?/span>
（Ⅰ）請根據(jù)數(shù)據(jù)在答題卡的莖葉圖中完成物理成績統(tǒng)計；
（Ⅱ）請根據(jù)數(shù)據(jù)在答題卡上完成數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布表及數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖；
數(shù)學(xué)成績分組 | [50，60﹚ | [60，70﹚ | [70，80﹚ | [80，90﹚ | [90，100﹚ | [100，110﹚ | [110，120] |
頻數(shù) |
（Ⅲ）設(shè)上述樣本中第i位考生的數(shù)學(xué)、物理成績分別為xi，yi（i=1，2，3，…，25）．通過對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)、物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系，得到：
=86，
=64，
（xi-）（yi-）=4698，（xi-）2=5524，
≈0.85．求y關(guān)于x的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測當(dāng)某考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>100分時，該考生的物理成績（精確到1分）．
附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
=
，
=-
．
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