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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直,函數(shù)g(x)=f(x)+ x2﹣bx.
          (1)求實數(shù)a的值;
          (2)若函數(shù)g(x)存在單調遞減區(qū)間,求實數(shù)b的取值范圍;
          (3)設x1 , x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個極值點,若b≥ ,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.

          【答案】
          (1)解:∵f(x)=x+alnx,

          ∴f′(x)=1+ ,

          ∵f(x)在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直,

          ∴k=f′(x)|x=1=1+a=2,

          解得a=1


          (2)解:∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,

          ∴g′(x)= ,x>0,

          由題意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,

          即x+ +1﹣b<0有解,

          ∵定義域x>0,

          ∴x+ ≥2,

          x+ <b﹣1有解,

          只需要x+ 的最小值小于b﹣1,

          ∴2<b﹣1,解得實數(shù)b的取值范圍是{b|b>3}


          (3)解:∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,

          ∴g′(x)= =0,∴x1+x2=b﹣1,x1x2=1

          ∴g(x1)﹣g(x2)=ln

          ∵0<x1<x2

          ∴設t= ,0<t<1,

          令h(t)=lnt﹣ (t﹣ ),0<t<1,

          則h′(t)=﹣ <0,

          ∴h(t)在(0,1)上單調遞減,

          又∵b≥ ,∴(b﹣1)2 ,

          ∵0<t<1,∴4t2﹣17t+4≥0,

          ∴0<t≤ ,h(t)≥h( )= ﹣2ln2,

          故所求的最小值為 ﹣2ln2


          【解析】(1)求導數(shù),利用導數(shù)的幾何意義能求出實數(shù)a的值.(2)由題意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,即x+ +1﹣b<0有解,由此能求出實數(shù)b的取值范圍.(3)g(x1)﹣g(x2)=ln ),由此利用構造成法和導數(shù)性質能求出g(x1)﹣g(x2)的最小值.
          【考點精析】掌握函數(shù)的極值與導數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.

          練習冊系列答案
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          ①f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的;
          ②f(x2)在[1, ]上具有性質P;
          ③若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x)=1,x∈[1,3];
          ④對任意x1 , x2 , x3 , x4∈[1,3],有 [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
          其中真命題的序號是(
          A.①②
          B.①③
          C.②④
          D.③④

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          A.12.8 3.6 B.2.8 13.6 C.12.8 13.6 D.13.6 12.8

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          A.1
          B.2
          C.3
          D.4

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