Question

已知拋物線y=ax²-2ax與直線l：y=ax（a＞0）的交點(diǎn)除了原點(diǎn)O外，還相交于另一點(diǎn)A．
（1）分別求出這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)、點(diǎn)A的坐標(biāo)（可用含a的式子表示）；
（2）將拋物線y=ax²-2ax沿著x軸對折（翻轉(zhuǎn)180°）后，得到的圖象叫做“新拋物線”，則：①當(dāng)a=1時(shí)，求這個(gè)“新拋物線”的解析式，并判斷這個(gè)“新拋物線”的頂點(diǎn)是否在直線l上；②在①的條件下，“新拋物線”上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離等于線段OA的

1

24

？若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，即可求得這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，又由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（3，3a），即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）存在，①首先求得原拋物線為y=x²-2x，可得新拋物線為y=-x²+2x，直線L：x-y=0；
②首先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（b，-b²+2b），則有

|b+b2-2b|

2

=

3 2

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，即可求得b的值，則可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-a），
由y=ax²-2ax與y=ax（a＞0）可得拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（3，3a），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3a）；

（2）存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離等于線段OA的

1

24

，
理由如下：
①∴當(dāng)a=1時(shí)，A坐標(biāo)為（3，3），
∴OA=3

2

，
∴原拋物線為y=x²-2x，
則新拋物線為y=-x²+2x，直線L：x-y=0；
②設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（b，-b²+2b），則有

|b+b2-2b|

2

=

3 2

24

，
即|b²-b|=|（b-

1

2

）²-

1

4

|=

1

4

，
∴（b-

1

2

）²=0或者（b-

1

2

）²=

1

2

，
解得b=

1

2

或b=

1+ 2

2

或b=

1- 2

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，

3

4

）或（

1+ 2

2

，

1+2 2

4

）或（

1- 2

2

，

1-2 2

4

）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問題，以及線段的長的求解方法等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．