Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得點(diǎn)P在射線BC上，且∠APB＝∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），則稱(chēng)P為⊙C的依附點(diǎn)．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)

①已知點(diǎn)D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在點(diǎn)D，E，F中，⊙O的依附點(diǎn)是　 　；

②點(diǎn)T在直線y＝﹣x上，若T為⊙O的依附點(diǎn)，求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y＝﹣2x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，若線段MN上的所有點(diǎn)都是⊙C的依附點(diǎn)，請(qǐng)求出圓心C的橫坐標(biāo)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①E、F；②＜t＜或﹣＜t＜﹣；（2）2＜n＜或﹣2＜n＜1﹣．

【解析】

（1）①根據(jù)P為⊙C的依附點(diǎn)，由圓內(nèi)角度的相互轉(zhuǎn)換，判斷出當(dāng)r<OP<3r（r為⊙C的半徑）時(shí)，P為⊙C的依附點(diǎn)，由此即可判斷；

②分兩種情形：點(diǎn)T在第二象限或第四象限分別求解即可；

（2）分兩種情形：點(diǎn)C在點(diǎn)M的右側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)M的左側(cè)，根據(jù)題意分析計(jì)算即可．

解：（1）①當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，即圓心C與原點(diǎn)重合，

如圖，設(shè)B、D為圓O與x軸的左右交點(diǎn)，A為圓上任意一點(diǎn)，

∵OA=OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ADB＝∠AOB，

∵∠APB＝∠AOB，

∴∠ADB＝∠APB，

∴∠DAP＝∠APB，

∴AD＝DP，

當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí)，OP＝3r，

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，OP＝r，

∵0°＜∠ACB＜180°，即0°＜∠AOB＜180°

∴r＜OP＜3r

根據(jù)P為⊙C的依附點(diǎn)，可知：當(dāng)r＜OP＜3r（r為⊙C的半徑）時(shí)，點(diǎn)P為⊙C的依附點(diǎn)．

如圖1中，∵D(1，0)，E(0，2)，F(2.5，0)，

∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5，

∴1＜OE＜3，1＜OF＜3，

∴點(diǎn)E，F是⊙C的依附點(diǎn)，

故答案為：E、F；

②如圖2，

∵點(diǎn)T在直線y=上，

∴點(diǎn)T在第二象限或第四象限，直線y=與x軸所夾的銳角為60°，

當(dāng)點(diǎn)T在第四象限，當(dāng)OT＝1時(shí)，作CT⊥x軸，易求點(diǎn)，當(dāng)OT'＝3時(shí)，作DT'⊥x軸，易求D，

∴滿足條件的點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍，

當(dāng)點(diǎn)T在第二象限，同理可得滿足條件的點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍，

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍：或，

（2）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，

由題意M(1，0)，N(0，2)，

當(dāng)CN=3時(shí)，OC=，此時(shí)C，

當(dāng)CM＝1時(shí)，此時(shí)C(2，0)，

∴滿足條件的n的值的范圍為；

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，

當(dāng)⊙C與直線MN相切時(shí)，

由題意M(1，0)，N(0，2)，∴MN＝，

∴sin∠OMN=，

∴，

∴，

∴，

當(dāng)CM=3時(shí)，C(2，0)，此時(shí)，滿足題意，

∴滿足條件的m的值的范圍為，

綜上所述，滿足條件的n的值的范圍為：或．