Question

如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點P在BC的延長線上，EC的延長線交AP于M，連BM，下列結論：①AP=CE；②∠PME=60°；③BM平分∠AME；④AM+MC=BM，其中正確的有

①②③④

（填序號），并將正確的結論予以證明．

Answer 1

分析：分別利用全等三角形的判定方法以及其性質(zhì)得出對應角以及對應邊關系進而分別分析得出答案．

解答：證明：①在△APB和△CEB中

AB=BC ∠ABP=∠CBE BP=BE

∴△APB≌△CEB （SAS），
∴①AP=CE，故此選項正確；

②∵△APB≌△CEB，
∴∠APB=∠CEB，
∵∠MCP=∠BCE，
則∠PME=∠PBE=60゜，故此選項正確；

③作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠BPN=∠FEB，
在△BNP和△BFE中

∠BNP=∠BFE ∠NPB=∠FEB PB=EB

∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN=BF，
∴BM平分∠AME，故此選項正確；

④在BM上截取BK=CM，連接AK．
由②知∠PME=60゜=∠BAC，
∴∠MCA=∠MBA，
在△ABK和△ACM中

AB=AC ∠ABK=∠ACM BK=CM

，
∴△ACM≌△ABK，
∴AK=AM，
∴△AMK為等邊△，故此選項正確；
故答案為：①②③④．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定是解題關鍵．