Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）相交于A、D兩點(diǎn)．其中D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，直線y=ax+b與y軸相交于B點(diǎn)，作AC⊥y軸于點(diǎn)C，已知tan∠ABO=

1

2

，OB=OC=2．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；
（2）求直線AB的解析式；
（3）連接OA、OD，求△AOD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正切的定義得tan∠ABO=

AC

BC

=

AC

4

=

1

2

，得到AC=2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），把A（-2，2）代入反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）即可得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）把A（-2，2），B（0，-2）代入一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）得到關(guān)于a、b的方程組-2a+b=2，b=-2，解方程組即可確定直線AB的解析式；
（3）先確定D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△OAD=S_△OAB+S_△OBD，利用三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵tan∠ABO=

1

2

，OB=OC=2，
∴tan∠ABO=

AC

BC

=

AC

4

=

1

2

，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∴AC=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），
把A（-2，2）代入反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）得，k=-4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-

4

x

；

（2）B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
把A（-2，2），B（0，-2）代入一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）得，
-2a+b=2，b=-2，解得a=-2，b=-2，
∴直線AB的解析式為y=-2x-2；

（3）如圖，
∵D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，
∴把y=-4代入y=-2x-2得，-4=-2x-2，解得x=1，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
∴S_△OAD=S_△OAB+S_△OBD
=

1

2

×2×2+

1

2

×2×1
=3．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．也考查了一次函數(shù)以及三角形的面積公式．