Question

【題目】問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線于點(diǎn)E．試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．

操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于F，通過(guò)構(gòu)造全等三角形經(jīng)過(guò)推理論證就可以解決問(wèn)題，請(qǐng)您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．

類(lèi)比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且滿(mǎn)足CD＝BC，在圖3中補(bǔ)全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．

Answer 1

【答案】（1）AD＝DE，見(jiàn)解析；（2）AD＝DE，見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析，△ADE是等邊三角形，

【解析】

（1）根據(jù)題意，通過(guò)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明即可得解；

（2）根據(jù)題意，通過(guò)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明即可得解；

（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理進(jìn)行證明即可.

（1）如下圖，數(shù)量關(guān)系：AD＝DE.

證明：∵是等邊三角形

∴AB＝BC，

∵DF∥AC

∴，∠BDF＝∠BCA

∴

∴是等邊三角形，

∴DF＝BD

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

∴BD＝CD

∴DF＝CD

∵CE是等邊的外角平分線

∴

∵是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

∴AD⊥BC

∴

∵

∴

在與中

∴

∴AD＝DE；

（2）結(jié)論：AD＝DE.

證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交AB于F

∵是等邊三角形

∴AB＝BC，

∵DF∥AC

∴

∴

∴是等邊三角形，

∴BF＝BD

∴AF＝DC

∵CE是等邊的外角平分線

∴

∵∠ADC是的外角

∴

∵

∴∠FAD＝∠CDE

在與中

∴

∴AD＝DE；

（3）如下圖，是等邊三角形.

證明：∵

∴

∵CE平分

∴CE垂直平分AD

∴AE=DE

∵

∴是等邊三角形.