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        1. 【題目】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組“陸月輝煌”最近正在進(jìn)行幾何圖形組合問題的研究.認(rèn)真研讀以下四個(gè)片段,并回答問題.

          (片斷一)小陸說:將一塊足夠大的等腰直角三角板置于一個(gè)正方形中,直角頂點(diǎn)與對角線交點(diǎn)O重合,在轉(zhuǎn)動三角板的過程中我發(fā)現(xiàn)某些線段之間存在確定的數(shù)量關(guān)系.

          如圖(1),若三角板兩條直角邊的外沿分別交正方形的邊AB、BC于點(diǎn)MN,則①OMON=MBNB;②

          請你判斷他的猜想是否正確?并證明你認(rèn)為正確的猜想.

          (片斷二)小月說:將三角板中一個(gè)45°角的頂點(diǎn)和正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置,使得這個(gè)角的兩條邊與正方形的一組鄰邊有交點(diǎn).

          如圖(2),若以A為頂點(diǎn)的45°角的兩邊分別交正方形的邊BC、CD于點(diǎn)M、N,交對角線BD于點(diǎn)E、F.我發(fā)現(xiàn):BE2DE2=2AE2,只要準(zhǔn)確旋轉(zhuǎn)圖(2)中的一個(gè)三角形就能證明這個(gè)結(jié)論.

          請你寫出小月所說的具體的旋轉(zhuǎn)方式:______________________

          (片斷三)小輝說:將三角板的一個(gè)45°角放置在正方形的外部,同時(shí)角的兩邊恰好經(jīng)過正方形兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn).

          如圖(3),設(shè)頂點(diǎn)為E45°角位于正方形的邊AD上方,這個(gè)角的兩邊分別經(jīng)過點(diǎn)B、C,連接EA,ED.那么線段EB、EC、ED也存在確定的數(shù)量關(guān)系:(EBED)2=2EC2

          請你證明這個(gè)結(jié)論.

          (片斷四)小煌說:在圖(2)中,作一個(gè)過點(diǎn)AE、F的圓,交正方形的邊AB、AD于點(diǎn)G、H,如圖(4)所示.你知道線段DH、HGGB三者之間的關(guān)系嗎?請直接寫出結(jié)論:________________

          【答案】【片斷一】①錯(cuò)誤,②正確,證明見詳解;【片斷二】將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG;【片斷三】證明見詳解;【片斷四】DH+BG=GH

          【解析】

          根據(jù)四邊形ABCD是正方形,可以得出∠MOB=NOC,利用ASA可以證明△MOB≌△NOC,則可以判斷②正確;作BCE點(diǎn),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和垂線段最短可以判斷①錯(cuò)誤;
          【片斷二】將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG.利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證明△AFG≌△AFE,則可判斷△AGE是等腰直角三角形,利用勾股定理即可證明;
          【片斷三】過點(diǎn)CEC的垂線交EB延長線于F,可證△FCE是等腰直角三角形,并可得△CDE≌△CBF,即可推出結(jié)論,解決問題;
          【片斷四】結(jié)論:DH+GB=HG.連接FH、CF、CE、EG,延長ABJ,使得BJ=DH,易證△ADF≌△CDF,利用三角形的內(nèi)角和定理可以推出CF、H共線,

          同理也可得C、EG共線,根據(jù)AG、E、FH共圓和圓周角的性質(zhì)得到∠FCG=45°,可以推出∠BCJ +GBC=GCJ =45°=HCG,利用SAS可以證明△CGH≌△CGJ,則可以得到DH+BG=GH

          解:【片斷一】:①錯(cuò)誤,②正確;
          理由:如圖1中,作BCE點(diǎn)

          ∵四邊形ABCD是正方形,
          ACBD,OB=OC=OD=OA,∠ABO=OCN=45°,
          ∵∠MON=BOC=90°,

          ∴∠MON-BON =BOC-BON
          ∴∠MOB=NOC
          ∴△MOB≌△NOCASA),
          BM=CN,
          ,

          即②正確,

          又∵,△BOC是等腰直角三角形,

          則有,

          ,故①錯(cuò)誤;

          【片斷二】

          :將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG;

          證明:如圖2所示,連接GE,GF

          ∵∠MAC=45°,并且由旋轉(zhuǎn)可知∠BAE=DAG,AG=AE,

          ∴∠GAF=EAF=45°

          又∵AF=AF
          ∴△AFG≌△AFESAS),
          GF=EF,∠GAF=EAF =45°AG=AE,

          ∴∠GAF+EAF =90°,

          即△AGE是等腰直角三角形,


          又∵∠ADG=ABE=ADF=45°,
          ∴∠FDG=90°,

          即有
          故答案為:將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG

          【片斷三】:如圖,過點(diǎn)CEC的垂線交EB延長線于F,

          ∵∠ECF=DCB=90°,
          ∴∠DCE=BCF

          ∵∠BEC=45°,即△FCE是等腰直角三角形,

          CE=CF,
          CD=CB
          ∴△CDE≌△CBFSAS),
          ED=FB,
          EB+ED=EB+FB=EF,
          又因?yàn)?/span>EC2+FC2=EF2
          ∴(EB+ED2=2EC2

          【片斷四】:結(jié)論:DH+GB=HG
          證明:如圖示,連接FH、CF、CEEG,延長ABJ,使得BJ=DH

          DC=DC,DF=DF,∠ADF=CDF=45°,

          ∴△ADF≌△CDFSAS),

          ∴∠DAF=DCF,

          由三角形的內(nèi)角和定理可知:

          DFC=180°-FDC-DCF =180°-45°-DCF=135°-DCF,

          DFH=180°-FDH-DHF =180°-45°-DHF =135°-DHF,

          DCF+DHF=90°

          ∴∠DFH+DFC

          =135°-DCF +135°-DHF

          =270°-(∠DCF +DHF

          =270°-90°

          =180°,
          C、F、H共線,

          同理可證CE、G共線,

          CD=CB,CDH=CBJ=90°,DH=BJ,

          ∴△CDH≌△CBJSAS),
          CH=CJ,∠DCH=BCJ,

          連接E,G

          A、GE、F、H共圓,∠DAG=90°,

          ∴HG是圓的直徑,

          ∴∠HFG=∠GFC=90°,并且∠FGE=∠FAE=45°

          ∴∠FCG=45°,

          ∴∠DCH+∠GBC=45°

          即有∠BCJ +∠GBC=∠GCJ =45°=∠HCG,

          在△CGH和△CGJ


          ∴△CGH≌△CGJSAS),
          HG=GJ,
          DH+BG=GH

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】隨著經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展,環(huán)境問題越來越受到人們的關(guān)注.某校為了了解節(jié)能減排、垃圾分類等知識的普及情況,隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,調(diào)查結(jié)果分為非常了解”“了解”“了解較少”“不了解四類,并將結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題:

          1)本次調(diào)查的學(xué)生共有___________人,估計(jì)該校名學(xué)生中不了解的人數(shù)是__________人;

          2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

          3非常了解人中有,兩名男生,,兩名女生,若從中隨機(jī)抽取兩人去參加環(huán)保知識競賽,請用畫樹狀圖或列表的方法,求恰好抽到名男生的概率.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某校為了解八年級學(xué)生睡眠時(shí)間的情況,隨機(jī)調(diào)查了該校八年級 50 名學(xué)生,得到了一天睡眠時(shí)間的一組樣本數(shù)據(jù),如下:

          睡眠時(shí)間

          組中值

          頻數(shù)

          3

          6

          3

          7

          8

          25

          9

          10

          根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖表完成下列問題:

          1)統(tǒng)計(jì)表中 ;

          2)根據(jù)數(shù)據(jù),估算該校八年級學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間;

          3)睡眠時(shí)間為 4.5~5.5h 3 名同學(xué)中有 1 名男生和 2 名女生,現(xiàn)從中隨機(jī)挑選 2 名同學(xué)去醫(yī)院進(jìn)行健康體檢,請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中“1 1 女”的概率.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,RtABC中,∠BAC90°,ABAC4,點(diǎn)DBC上一點(diǎn),點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn),CEAD,垂足為HEBBC,BFEF,∠ADB+BDF135°,則FD的長為_____

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)M(0,)為圓心,長為半徑作Mx軸于A.B兩點(diǎn),交y軸于C.D兩點(diǎn),連接AM并延長交MP點(diǎn),連接PCx軸于E.

          (1)求點(diǎn)C.P的坐標(biāo);

          (2)求證:BE=2OE.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)和函數(shù)(m是常數(shù),且)的圖象可能是( )

          A. B.

          C. D.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】疫情防控,我們一直在堅(jiān)守.某居委會組織兩個(gè)檢查組,分別對居民體溫居民安全出行的情況進(jìn)行抽查.若這兩個(gè)檢查組在轄區(qū)內(nèi)的某三個(gè)校區(qū)中各自隨機(jī)抽取一個(gè)小區(qū)進(jìn)行檢查,則他們恰好抽到同一個(gè)小區(qū)的概率是(

          A.B.C.D.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】1)如圖1上一動點(diǎn),外一點(diǎn),在圖中作出最小時(shí)的點(diǎn)

          2)如圖2,中,,,以點(diǎn)為圓心的的半徑是,上一動點(diǎn),在線段上確定點(diǎn)的位置,使的長最小,并求出其最小值.

          3)如圖3,矩形中,,,以為圓心,為半徑作,上一動點(diǎn),連接,以為直角邊作,,試探究四邊形的面積是否有最大或最小值,如果有,請求出最大或最小值,否則,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】中,為直徑,弦于點(diǎn),連接,

          1)如圖①,求的度數(shù);

          2)如圖②,弦于點(diǎn).在上取點(diǎn),連接、,使,求證:;

          3)如圖③,在(2)的條件下,,的直徑為,連接,,求的長.

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          同步練習(xí)冊答案