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        1. 已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC="3" ,tan∠BAC=,將∠ABC對折,使點C的對應點H恰好落在直線AB上,折痕交AC于點O,以點O為坐標原點,AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系

          (1)求過A、B、O三點的拋物線解析式;
          (2)若在線段AB上有一動點P,過P點作x軸的垂線,交拋物線于M,設PM的長度等于d,試探究d有無最大值,如果有,請求出最大值,如果沒有,請說明理由.
          (3)若在拋物線上有一點E,在對稱軸上有一點F,且以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形,試求出點E的坐標.

          (1)y=;(2)當t=時,d有最大值,最大值為2;(3)

          解析試題分析:(1)在Rt△ABC 中,根據(jù)∠BAC的正切函數(shù)可求得AC=4,再根據(jù)勾股定理求得AB,設OC=m,連接OH由對稱性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,即得AH=AB-BH=2,OA=4-m.在Rt△AOH 中,根據(jù)勾股定理可求得m的值,即可得到點O、A、B的坐標,根據(jù)拋物線的對稱性可設過A、B、O三點的拋物線的解析式為:y=ax(x-,再把B點坐標代入即可求得結果;
          (2)設直線AB的解析式為y=kx+b,根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式,設動點P(t,),則M(t,),先表示出d關于t的函數(shù)關系式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結果;
          (3)設拋物線y=的頂點為D,先求得拋物線的對稱軸,與拋物線的頂點坐標,根據(jù)拋物線的對稱性,A、O兩點關于對稱軸對稱.分AO為平行四邊形的對角線時,AO為平行四邊形的邊時,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可.
          (1)在Rt△ABC 中,∵BC="3" ,tan∠BAC=,
          ∴AC=4.
          ∴AB=
          設OC=m,連接OH

          由對稱性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,
          ∴AH=AB-BH=2,OA=4-m.
          ∴在Rt△AOH 中, OH2+AH2=OA2,即m2+22=(4-m)2,得 m=
          ∴OC=,OA=AC-OC=,
          ∴O(0,0) A(,0),B(-,3).
          設過A、B、O三點的拋物線的解析式為:y=ax(x-).
          把x=,y=3代入解析式,得a=
          ∴y=x(x-)=
          即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=
          (2)設直線AB的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得
          ,解之得,
          ∴直線AB的解析式為y=. 
          設動點P(t,),則M(t,). 
          ∴d=()—()=—=
          ∴當t=時,d有最大值,最大值為2.
          (3)設拋物線y=的頂點為D.
          ∵y==,
          ∴拋物線的對稱軸x=,頂點D(,-).
          根據(jù)拋物線的對稱性,A、O兩點關于對稱軸對稱.
          當AO為平行四邊形的對角線時,拋物線的頂點D以及點D關于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形.這時點D即為點E,所以E點坐標為().
          當AO為平行四邊形的邊時,由OA=,知拋物線存在點E的橫坐標為,即,
          分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=中,得點E(,)或E(-,).
          所以在拋物線上存在三個點:E1,-),E2,),E3(-,),使以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形.
          考點:二次函數(shù)的綜合題
          點評:此題綜合性較強,難度較大,注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵,注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用.

          練習冊系列答案
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          (1)求證:DE與⊙O相切;
          (2)連結OE,若cos∠BAD=
          3
          5
          ,BE=
          14
          3
          ,求OE的長.

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          (1)求出cosB的值;
          (2)用含y的代數(shù)式表示AE;
          (3)求y與x之間的函數(shù)關系式,并求出x的取值范圍;
          (4)設四邊形DECF的面積為S,求出S的最大值.

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