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        1. 已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC="3" ,tan∠BAC=,將∠ABC對折,使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上,折痕交AC于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系

          (1)求過A、B、O三點(diǎn)的拋物線解析式;
          (2)若在線段AB上有一動點(diǎn)P,過P點(diǎn)作x軸的垂線,交拋物線于M,設(shè)PM的長度等于d,試探究d有無最大值,如果有,請求出最大值,如果沒有,請說明理由.
          (3)若在拋物線上有一點(diǎn)E,在對稱軸上有一點(diǎn)F,且以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

          (1)y=;(2)當(dāng)t=時,d有最大值,最大值為2;(3)

          解析試題分析:(1)在Rt△ABC 中,根據(jù)∠BAC的正切函數(shù)可求得AC=4,再根據(jù)勾股定理求得AB,設(shè)OC=m,連接OH由對稱性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,即得AH=AB-BH=2,OA=4-m.在Rt△AOH 中,根據(jù)勾股定理可求得m的值,即可得到點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的對稱性可設(shè)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為:y=ax(x-,再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得結(jié)果;
          (2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式,設(shè)動點(diǎn)P(t,),則M(t,),先表示出d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果;
          (3)設(shè)拋物線y=的頂點(diǎn)為D,先求得拋物線的對稱軸,與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線的對稱性,A、O兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱.分AO為平行四邊形的對角線時,AO為平行四邊形的邊時,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可.
          (1)在Rt△ABC 中,∵BC="3" ,tan∠BAC=,
          ∴AC=4.
          ∴AB=
          設(shè)OC=m,連接OH

          由對稱性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,
          ∴AH=AB-BH=2,OA=4-m.
          ∴在Rt△AOH 中, OH2+AH2=OA2,即m2+22=(4-m)2,得 m=
          ∴OC=,OA=AC-OC=,
          ∴O(0,0) A(,0),B(-,3).
          設(shè)過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為:y=ax(x-).
          把x=,y=3代入解析式,得a=
          ∴y=x(x-)=
          即過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=
          (2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得
          ,解之得
          ∴直線AB的解析式為y=. 
          設(shè)動點(diǎn)P(t,),則M(t,). 
          ∴d=()—()=—=
          ∴當(dāng)t=時,d有最大值,最大值為2.
          (3)設(shè)拋物線y=的頂點(diǎn)為D.
          ∵y==
          ∴拋物線的對稱軸x=,頂點(diǎn)D(,-).
          根據(jù)拋物線的對稱性,A、O兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱.
          當(dāng)AO為平行四邊形的對角線時,拋物線的頂點(diǎn)D以及點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)F與A、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形.這時點(diǎn)D即為點(diǎn)E,所以E點(diǎn)坐標(biāo)為().
          當(dāng)AO為平行四邊形的邊時,由OA=,知拋物線存在點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,即,
          分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=中,得點(diǎn)E(,)或E(-,).
          所以在拋物線上存在三個點(diǎn):E1,-),E2,),E3(-,),使以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.
          考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合題
          點(diǎn)評:此題綜合性較強(qiáng),難度較大,注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵,注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

          練習(xí)冊系列答案
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          精英家教網(wǎng)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,過點(diǎn)B作BD∥AC,且BD=2AC,連接AD.試判斷△ABD的形狀,并說明理由.

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          (1997•陜西)已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于E,OD∥AB.求證:①ED是⊙O的切線;②2DE2=BE•OD.

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          (2013•豐臺區(qū)一模)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn),連結(jié)DE.
          (1)求證:DE與⊙O相切;
          (2)連結(jié)OE,若cos∠BAD=
          3
          5
          ,BE=
          14
          3
          ,求OE的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,點(diǎn)D在斜邊AB上,分別作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為E、F,得四邊形DECF,設(shè)DE=x,DF=y.
          (1)求出cosB的值;
          (2)用含y的代數(shù)式表示AE;
          (3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍;
          (4)設(shè)四邊形DECF的面積為S,求出S的最大值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20,求斜邊AB上的高CD.

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          同步練習(xí)冊答案